數學之旅

A Journey Through Mathematics

數學之旅

THE JOURNEY OF MATHEMATICS

為中學數學而寫的現代數學讀物。函數、極限、導數一脈貫通，用清晰的公式與精繪的圖形，把每一頁都做成知識的藝術品。

專題分冊精繪圖表免費版內容完整付費版僅去水印
前往網盤下載 前往愛發電支持 藍奏雲下載（國內推薦） 探索書稿 版本對比

6 月 12 日重大更新

本書迎來重大修訂

經過最近幾個月的修訂與審校，《高中數學之旅》終於又出了新版本！下方附有完整的勘誤表，涵蓋兩本書共計 200+ 項修正。

前往網盤下載 藍奏雲下載（國內推薦） 勘誤表

書稿總覽

兩個系列，一脈相承

兩個系列內容互相獨立。免費版與付費版內容完全一致，付費版僅去除頁面水印。

新系列 · 第一冊

數學之旅：函數與導數

新啟動的獨立系列，作為《高中數學之旅》的精神續作全面重寫。第一冊圍繞函數、極限與導數展開，呈現從概念到方法的數學脈絡。

舊版 · 完整五冊

高中數學之旅

舊版系列覆蓋中學數學的主要專題與常見題型，也包含若干進階內容。

Errata

勘誤表

第一档推导与结论错误18 项
  1. §1.3 例题 E038：Heron 型恒等式左边符号写反了，数值检验表明应该是正号。★
  2. §1.5 例题 E072：附加说明里的区间方向写错了，正确是 1
  3. §3.3 定理 T027：复合函数单调性没区分非严格和严格，严格单调需要额外条件。
  4. §3.5 定理 T031：周期运算结论错误地断言了充要性和最小公倍数，应只作为充分条件。
  5. §3.6 定理 T036：Jensen 不等式等号条件写错了，应是"所有正权重对应点相等"。★
  6. §3.9 定理 T043：复合函数单调性没区分非严格与严格，同 T027。
  7. §5.2 例题 E209：AM-GM 取等条件与定义域不匹配，导致最值表述错误。
  8. §5.5 定理 T070：柯西不等式等号条件表述不精确，应明确"线性相关"及零向量。
  9. §7.8 定理 T095：Gosper 判别方程原表述过宽，需收紧并补充证明。★
  10. §7.14 定理 T101：结论"周期数列"过强，实为"最终周期数列"。
  11. §9.1 定理 T111：加法原理中"独立"应改为"互斥"，加法要求分类两两互斥。
  12. §9.3 定理 T116：帕斯卡恒等式范围包含 k=n 时右侧 C(n-1,n) 无定义，应限制 1≤k≤n-1。★
  13. §11.1 定理 T132：外心中心角陈述只在锐角三角形成立，需修正为全局有效。
  14. §12.4 定理 T165：线性规划表述过宽，应收紧为二维凸多边形情形。
  15. §13.3 定理 T183：对"任意二次曲线"表述过宽，应收紧为非退化标准二次曲线。
  16. §14.9 定理 T199：非严格单调不足以保证至多一个零点，应改为严格单调。
  17. §14.11 定理 T203：洛必达法则陈述过宽，缺分母非零条件与显式证明。
  18. §19.5 定理 T238：微积分第一基本定理未限定内点可导，端点不保证可导。
第二档缺少前提条件 / 适用范围过宽62 项
  1. §1.3 例题 E027：裂项分式恒等式没声明分母不能为零，分母为零时等式不成立。
  2. §1.3 例题 E031：利用 abc=1 统一分母时没排除零分母，a,b,c 可能为零导致分母为 0。
  3. §1.3 例题 E032：在 a+b+c=0 条件下通分，没排除零分母，分母含零变形无效。
  4. §1.3 例题 E041：逐项作差等式没排除 a=0 等零分母，分母为零恒等式无意义。
  5. §1.3 例题 E044：分母化为 -2bc 等之后求和为 0，缺少零分母排除的条件。
  6. §1.3 例题 E045：比例式已经隐含 x,y,z 非零，但没明确写出来，不够清楚。
  7. §1.3 例题 E046：通分后分子逐项抵消，没排除零分母，分母为零时不成立。
  8. §1.5 例题 E064：倒数换元要求 x 非零且 |t|≥2，题面没声明"在实数范围内"。
  9. §1.5 例题 E067：部分分式分解没排除使原分母为零的 n 值，n=0,-1,-2 时分母为 0。
  10. §1.5 例题 E076：分母要求 ab≠0 但没说明，分母为零时等式无意义。
  11. §1.1 引理 T001：齐次性等价刻画缺少"非零多项式"的前提，否则恒为零时定义失效。★
  12. §1.2 性质 T004：立方和与立方差公式没写适用范围，应写明"对任意数 a,b"。
  13. §1.2 性质 T005：完全立方公式没写适用范围，同 T004。
  14. §1.2 定理 T007：奇数次幂和公式没限定 n 为正奇数，n 不限制时不一定成立。
  15. §1.6 定理 T018：线性不定方程通解缺 a,b 非零前提，a,b 为零时通解公式失效。
  16. §2.1 定理 T021：德摩根定律没明确 A,B 是 U 的子集，还缺第二式的证明。
  17. §3.3 定理 T026：导数与单调性定理缺少连续/内点可导的前提。
  18. §3.4 定理 T029：对称性判据缺定义域封闭和恒成立的条件，适用范围不清。
  19. §3.5 定理 T033：函数方程迭代第三式缺少分母非零的前提。
  20. §3.6 定理 T035：二阶导数判定法缺连续/内部二阶可导前提和中值定理证明。
  21. §3.7 定理 T038：反函数存在充要条件缺值域前提和双向证明。
  22. §3.9 定理 T044：复合函数奇偶性缺少外层函数在对应区域上奇偶性的条件。
  23. §3.10 定理 T046：对称变换缺 y=x 对称时反函数存在的说明，无反函数不能写 f⁻¹(x)。
  24. §3.11 定理 T049：三次函数中心对称缺 a≠0 条件，证明被跳过。
  25. §3.11 定理 T050：三次方程根与系数关系缺 a≠0 和按重数计根的前提。
  26. §4.2 定理 T059：四类柯西方程的定义域/连续性假设不够严格，需收紧并补零函数分支。
  27. §4.2 定理 T060：平移变式缺 f:ℝ→ℝ 连续的前提。
  28. §4.2 定理 T061：带尺度因子的乘法型方程缺正定义域、非平凡解等条件。
  29. §4.4 定理 T064：正切函数模型缺分母非零及正切极点的限制。★
  30. §5.1 定理 T068：均值不等式链 H≤G 和 A≤Q 没写等号成立的条件。
  31. §5.3 定理 T069：三段不等式的等号条件来源不明，没给推导。
  32. §6.10 定理 T084：正切三倍角公式缺少 tanα、tan3α 有意义及分母非零的条件。★
  33. §7.10 定理 T098：连乘相消缺数列各项非零条件，分母可能为零。
  34. §7.10 定理 T099：二阶递推缺 q≠0 条件和通项唯一性证明。
  35. §7.16 定理 T109：莱布尼茨判别法缺少 a_n>0 的前提。
  36. §9.1 定理 T112：乘法原理缺"后续每步选择数对任意前缀固定"的条件。
  37. §9.3 定理 T115：二项式定理缺变量可交换的条件。
  38. §9.4 定理 T117/T118：多项式定理缺可交换变量/数的前提。
  39. §11.1 定理 T129：正弦定理缺非退化三角形前提和正弦非零说明。
  40. §11.1 定理 T130：余弦定理缺非退化三角形前提。
  41. §12.3 定理 T164：点到直线距离公式缺 A,B 不同时为 0 的条件。
  42. §12.5 定理 T167：焦点-中心弦三角形面积范围没排除长轴退化。
  43. §12.5 定理 T172：韦达定理缺 a≠0 条件和证明。
  44. §12.5 定理 T173：弦长公式缺 a≠0, Δ>0 条件和证明。
  45. §12.5 定理 T174：弦中点斜率关系没处理竖直弦和 x_M=0 时分母为零的情况。
  46. §13.2 定理 T181：交比射影不变性证明缺四线互异、截线非退化等条件。
  47. §13.2 定理 T182：调和点列倒数关系缺有向线段非零条件。
  48. §14.7 定理 T194：罗尔定理缺少 a
  49. §14.7 定理 T195：拉格朗日中值定理缺少 a
  50. §14.7 定理 T196：函数单调性判定缺区间连续/内部可导前提。
  51. §14.8 定理 T198：柯西中值定理缺 a★
  52. §16.4 定理 T212：乘除法三角表示缺 z₁, z₂ 非零条件。
  53. §17.1 公理 T219：两平面相交公理应限定为不同平面，重合时无交线。★
  54. §17.3 定理 T223：线面平行性质定理缺少"经过该直线且与此平面相交"的前提。
  55. §17.3 定理 T226：平行平面传递性没排除重合平面。
  56. §19.3 定理 T234：第一类换元法则缺复合定义域前提 g(I)⊂J。
  57. §19.5 定理 T237：连续函数可积性定理缺 a
  58. §19.6 定理 T240/T241：定积分线性性与积分中值定理缺 a★
  59. §20.3 定理 T243：一阶线性微分方程求解缺 P, Q 连续的前提。
  60. §21.2 定理 T245-T247：矩阵运算律缺同阶矩阵/维数相容的前提。
  61. §21.2 定理 T249：二次曲线分类准则缺 A, B, C 不全为零及退化情形说明。
  62. §21.2 定理 T251：克拉默法则缺维数前提。
第三档证明不完整86 项
  1. §1.3 例题 E040：Lagrange 恒等式只证明了 n=3 的情形，没给出一般形式。
  2. §1.6 例题 E080：证明用了"因子传递"的不严谨说法，应直接写成 2×整数，并覆盖 n=0 和负整数。
  3. §1.2 定理 T008：一元二次分解公式没说明 Δ<0 时不能实分解，结论不完整。
  4. §1.2 定理 T009：齐次二次分解没处理 y=0 边界和 Δ<0 情形，边界不完整。
  5. §1.2 定理 T012：有理根定理缺少 p=0 的分支，a₀=0 时需要单独处理。
  6. §1.3 定理 T013：说"n 次多项式"不够严谨，应为"次数不超过 n"。
  7. §1.6 定理 T014：整除基本性质证明跳过了自反性和传递性，不该直接略证。
  8. §1.6 定理 T016：gcd·lcm=ab 缺完整证明，完善。
  9. §1.6 定理 T017：裴蜀定理充分性缺乏构造依据，扩展欧几里得的回代步骤要说明。
  10. §1.6 定理 T019：本原毕达哥拉斯三元组参数化只给了形式，没验证充分性。
  11. §2.1 命题 T020：集合相等判定缺双向证明，证明不完整。
  12. §2.3 定理 T024：逆否等价用 Venn 图直观证明不够，应改为真值表证明。
  13. §2.3 定理 T025：量词否定律只有直观理解，缺严格证明。
  14. §3.4 推论 T030：常见对称形式推论直接给结论，没证明。
  15. §3.5 定理 T032：对称性推出周期性漏掉了轴心重合时的边界情形。
  16. §3.6 定理 T034：凹凸性等价结论只说"从略"，缺反向证明。
  17. §3.6 推论 T037：Jensen 算术平均形式的证明循环引用了加权形式，应该直接由加权推。
  18. §3.7 定理 T039：反函数性质四条只证了一条，缺后三条证明。
  19. §3.9 定理 T042：复合函数定义域公式只给了公式，没证明内层值域落入外层定义域。
  20. §3.10 定理 T045：平移伸缩变换原先没证明，需要补坐标变换证明。
  21. §3.10 定理 T047：翻折变换没给分段/点集证明。
  22. §3.11 定理 T051：切线条数判定原无证明。
  23. §3.11 定理 T052：原函数与导函数对称性互换只证了一条，另一条没证。
  24. §3.12 定理 T054：自然指数函数性质缺存在/唯一性证明和可导范围。
  25. §3.14 定理 T055：对数运算法则只详细证了乘法，缺商和幂的证明。
  26. §3.16 定理 T057：零点存在性定理缺介值定理证明。
  27. §3.18 定理 T058：绝对值性质只证了三角不等式，缺其余性质证明。
  28. §4.3 定理 T062：原证明只验证二次多项式是候选，没证唯一性。
  29. §4.4 定理 T063：达朗贝尔方程缺零函数平凡解和反向验证。
  30. §5.5 定理 T071：Engel 形式缺等号条件反向证明。
  31. §5.5 定理 T072：闵可夫斯基不等式没说明等号何时成立。
  32. §5.6 定理 T073：逆序和最小的证明缺对称论证，没完成下界证明。
  33. §5.7 定理 T074：伯努利不等式整数形式没证等号条件。
  34. §5.7 定理 T075：实数形式 α<0 的证明用"类似"跳过了关键步骤。
  35. §6.9 定理 T081：和差角公式大全没给证明环境，需补证明和正切分母条件。
  36. §6.11 定理 T085：万能公式的证明缺少 tanα 公式的推导。
  37. §6.13 定理 T086/T087：积化和差与和差化积公式缺推导证明。
  38. §6.16 定理 T089：反正切加法公式在 ab<1 时缺余弦符号的主值区间论证。
  39. §7.10 定理 T097：累加法裂项相消没证明。
  40. §7.11 定理 T100：压缩映射原理缺 Banach 完整证明。
  41. §7.15 定理 T102：极限运算法则证明缺少显式 proof 环境。
  42. §7.15 定理 T106：e 的极限原无收敛性证明。
  43. §7.16 定理 T108：项趋零性证明缺少 S_{n-1} 与 S_n 同极限的平移说明。
  44. §7.17 定理 T110：泰勒中值定理缺证明，假设也不够精确。
  45. §10.1 定理 T119：德·摩根定律原无证明。
  46. §10.1 定理 T125：错排数通项公式只依赖前例，缺容斥原理证明。
  47. §10.1 定理 T126：错排数递推关系缺按元素 n 分类的证明。
  48. §10.1 定理 T127：极限概率公式直接给结论，缺 e^{-1} 泰勒级数证明。
  49. §10.1 定理 T128：最佳整数近似没证 |n!/e - D_n| < 1/2 的余项界。
  50. §11.1 定理 T131：外心位置特征原为略证，证明不完整。
  51. §11.1 定理 T139：重心基本性质原为略证。
  52. §11.1 定理 T142：边与中线平方和关系没有证明。
  53. §11.1 定理 T143：垂心位置特征没有证明。
  54. §11.1 定理 T144：垂足圆性质没证明，垂足来源也不明确。
  55. §11.1 定理 T145：垂心与外心向量关系没有证明。
  56. §11.1 定理 T150：高线长公式没有证明。
  57. §12.1 定理 T154：平行四边形法则缺证明环境。
  58. §12.1 定理 T156：极化恒等式推导正确，但缺显式证明环境。
  59. §12.2 定理 T157：三点共线定理唯一性需排除 A=B 的退化情形。
  60. §12.4 引理 T166：皮克定理证明从矩形到直角三角形过渡有跳跃。
  61. §12.5 定理 T168/T169：椭圆反射性质和焦半径公式缺证明环境。
  62. §12.5 定理 T170：椭圆导演圆只证了必要性，缺充分性及竖直切线特殊点。
  63. §12.5 定理 T171：统一焦点-准线定义缺显式证明。
  64. §13.3 定理 T184：极线方程原无显式证明。
  65. §13.4 定理 T185：La Hire 定理原无显式证明。
  66. §14.2 定理 T188：左右极限判定原无 ε-δ 证明。
  67. §14.5 定理 T190：极限运算只证了和法则，略去了乘积、常数倍、倒数、商法则。
  68. §14.8 定理 T197：线性近似误差公式缺 x=x₀ 平凡情形的说明。
  69. §14.10 定理 T201/T202：凹凸性判定与极值第二充分条件缺证明。
  70. §14.12 定理 T204/T205：端点分析法与局部保号性缺双向完整证明。
  71. §15.4 定理 T208：圆锥曲线统一极坐标方程缺焦点-准线推导与 ρ≥0 分母条件。
  72. §16.1 性质 T209：复数相等判定缺代数形式唯一性证明。
  73. §16.1 性质 T210：模与共轭乘法性质证明循环依赖后续性质。
  74. §16.3 定理 T211：共轭虚根公式缺定理标题与配方法证明。
  75. §16.4 定理 T213：棣莫弗公式只证了正整数指数，缺负整数指数。
  76. §16.5 推论 T215：复系数多项式按重数分解缺归纳法证明。
  77. §17.1 定理 T220/T221：确定平面的定理缺标题和统一性证明。
  78. §17.4 定理 T227-T230：线面垂直、三垂线等证明有跳步，应改写严格证明。
  79. §19.1 定理 T232：连续函数原函数存在定理缺构造性证明。
  80. §19.4 定理 T235：分部积分法仅有公式，缺乘积求导法则证明。
  81. §19.4 定理 T236：分部求和法缺证明且标题格式不完整。
  82. §20.2 定理 T242：指数增长模型证明除以 y 漏掉零解。
  83. §20.4 定理 T244：微分方程法流程缺"微分仅给候选、最终需检验"的警示。
  84. §21.2 定理 T248：面积变换定理缺 det(A)=0 情形与完整证明。
  85. §21.2 定理 T250：逆矩阵公式缺充要性证明。
  86. §21.2 定理 T252：秩定理缺行秩等于列秩的完整证明。
第四档表述与格式问题7 项
  1. §2.1 例题 E096：数轴图中 B 左侧区间起点画错了，和图文矛盾。
  2. §2.1 例题 E098：同样问题，数轴图里 B 左侧区间起点不对。
  3. §2.1 定理 T023：容斥原理最后一行求和简写与定理正文不一致。
  4. §7.1 公理 T090：数学归纳法起始值没明确是正整数。
  5. §14.6 定理 T191：无穷极限定义中"|x|无限增大"与 x>M 表述不一致。
  6. §14.7 定理 T193：费马引理证明中极大值定义的表述有歧义。
  7. §19.2 定理 T233：不定积分线性性质没明确"积分常数重新合并"的理解。

設計哲學

理念與特徵

從學生視角出發，用清楚的語言和嚴謹的推導，把函數、極限與導數中的核心思想一層層展開。版式、圖示與節奏都圍繞「讓讀者真正讀懂」而設計。

21章

《高中數學之旅》覆蓋的中學數學核心專題

43講

《函數與導數》第一冊的專題與例題編排

100%免費內容

免費版即可閱讀完整正文與全部圖示

純淨閱讀體驗

付費版 PDF 完全無水印，每一頁都保持完整的視覺與版心比例。

排版即藝術

精心調配的數學公式、圖形版式與閱讀節奏，讓推理過程清晰可見。

免費完整內容

免費版即可取得全部章節與圖示，知識不應被門檻擋住。

精繪幾何圖式

函數圖像與幾何圖形按數學關係精確繪製，幫助建立直觀認知。

嚴格校對打磨

多輪審閱與完整勘誤表，持續修正每一處細節，讓閱讀更放心。

專題分冊編排

按數學專題獨立分冊，便於圍繞不同主題獨立閱讀與查閱。

版本對比

選擇你的版本

免費版與付費版內容完全一致。付費版僅去除頁面水印，並作為對作者的一份支持。

Watermark-Free Edition

無水印版

內容相同 · 僅去水印
  • 與免費版內容完全相同
  • 去除頁面水印，閱讀純淨
  • 所有專題分冊獨立下載
  • 優先取得後續修訂
  • 作為對作者的一份支持

內頁預覽

翻閱書頁

隨機抽取兩本書的一些頁面，提前感受排版風格。

《函数与导数》

《函数与导数》内页预览 1《函数与导数》内页预览 2《函数与导数》内页预览 3

《高中数学之旅》

《高中数学之旅》内页预览 1《高中数学之旅》内页预览 2《高中数学之旅》内页预览 3

緣起、學習與近況

寫作緣起、學習方式與近況說明

這裡保留原書籍說明頁中的背景文字，說明為什麼寫這本書，以及項目目前的狀態。

寫作緣起與方法論

本書的起點源自我高中三年學習數學期間累積的筆記與思考。

我想做的不是單純羅列題型與例題，而是呈現從定義、定理、推理分支到答案收束的邏輯流。

關於習題冊、AI 與學習方式

以前我也覺得解析冊裡的思路引導很重要，但現在漸漸改變了想法。很多 AI 配合學習模式的互動性引導，在效率上明顯超過紙面答案。

把真實思考過程交給可互動系統，效率更高。

支持作者

在愛發電支持我

每一份支持都是持續寫作與開發的動力。付費版與免費版內容完全一致，付費僅去除水印。

感謝友情支持

前往愛發電主頁取得無水印版並支持作者。

afdian.com/a/writeamathbook ↗
感謝支持

贊助者牆

感謝透過愛發電支持我寫作與開源計畫的每一位朋友。

正在載入贊助者名單…
Project Akari

Project Akari

Illuminating the Path of Learning

Project Akari 致力於重塑學習體驗，提供更高效、更具親和力的學習範式。

書籍與配套軟體共同服務於更自由、更可持續的學習方式。