数学之旅

数学之旅

为中学数学而写的现代数学读物。函数、极限、导数一脉贯通，用清晰的公式与精绘的图形，把每一页都做成知识的艺术品。

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6 月 12 日重大更新

2026 届高考落幕，本书迎来重大修订

经过最近几个月断断续续的修订和审校，《高中数学之旅》终于又出了新版本！下方附有完整的勘误表，涵盖两本书共计 200+ 项修正。

勘误表

书稿总览

两个系列，一脉相承

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新系列 · 第一册

数学之旅：函数与导数

本书围绕中学阶段的「函数与导数」展开，按专题分册编排，呈现由函数观念通向极限思想、再延伸至导数方法的数学脉络。前半部分依次讨论函数的概念、定义域、单调性、奇偶性、周期性、图像变换以及若干常见函数模型，强调图像、性质与解析式之间的联系。后半部分进入极限、连续、导数、中值定理、高阶导数与相关应用。

专题分册免费版内容完整

目录

第一卷 函数 — 语言、图像与结构
01 函数的概念
02 定义域
03 函数的表示法
04 从关系到函数
05 图像与坐标轴
06 由解析式抓作图线索
07 含参数函数的图像综合
08 图像研究的基本路径与常见误判
09 单调性
10 最值
11 奇偶性
12 周期性
13 性质之间的联系与综合判断
14 凹凸性
15 反函数
16 函数的复合
17 函数的图像变换
18 多项式函数与三次函数初步
19 指数函数
20 幂函数
21 对数函数
22 函数模型的建立与应用
23 函数的零点
24 分段函数
25 绝对值函数
26 抽象函数与函数方程
27 函数值域
第二卷 极限与导数 — 思想、工具与应用
01 数轴为什么需要「没有空隙」
02 极限
03 切线问题
04 函数的连续性
05 连续性在图像与方程中的作用
06 极限的运算与常用工具
07 无穷远处的极限与渐近现象
08 导数的概念
09 中值定理与线性近似
10 单调性、零点与不等式
11 高阶导数与泰勒展开初步
12 洛必达法则与极限计算
13 端点分析与局部保号
14 极值点偏移问题
15 三次函数的导数分析
16 分段点分析与导数法求值域

Errata · 6 月 12 日

勘误表

以下勘误按严重程度分为四档：第一档为推导与结论错误，第二档为缺少前提条件或适用范围过宽，第三档为证明不完整，第四档为表述与格式问题。标记 ★ 的条目来自读者反馈。

第一档推导与结论错误18 项
  1. §1.3 例题 E038：Heron 型恒等式左边符号写反了，数值检验表明应该是正号。★
  2. §1.5 例题 E072：附加说明里的区间方向写错了，正确是 1
  3. §3.3 定理 T027：复合函数单调性没区分非严格和严格，严格单调需要额外条件。
  4. §3.5 定理 T031：周期运算结论错误地断言了充要性和最小公倍数，应只作为充分条件。
  5. §3.6 定理 T036：Jensen 不等式等号条件写错了，应是"所有正权重对应点相等"。★
  6. §3.9 定理 T043：复合函数单调性没区分非严格与严格，同 T027。
  7. §5.2 例题 E209：AM-GM 取等条件与定义域不匹配，导致最值表述错误。
  8. §5.5 定理 T070：柯西不等式等号条件表述不精确，应明确"线性相关"及零向量。
  9. §7.8 定理 T095：Gosper 判别方程原表述过宽，需收紧并补充证明。★
  10. §7.14 定理 T101：结论"周期数列"过强，实为"最终周期数列"。
  11. §9.1 定理 T111：加法原理中"独立"应改为"互斥"，加法要求分类两两互斥。
  12. §9.3 定理 T116：帕斯卡恒等式范围包含 k=n 时右侧 C(n-1,n) 无定义，应限制 1≤k≤n-1。★
  13. §11.1 定理 T132：外心中心角陈述只在锐角三角形成立，需修正为全局有效。
  14. §12.4 定理 T165：线性规划表述过宽，应收紧为二维凸多边形情形。
  15. §13.3 定理 T183：对"任意二次曲线"表述过宽，应收紧为非退化标准二次曲线。
  16. §14.9 定理 T199：非严格单调不足以保证至多一个零点，应改为严格单调。
  17. §14.11 定理 T203：洛必达法则陈述过宽，缺分母非零条件与显式证明。
  18. §19.5 定理 T238：微积分第一基本定理未限定内点可导，端点不保证可导。
第二档缺少前提条件 / 适用范围过宽62 项
  1. §1.3 例题 E027：裂项分式恒等式没声明分母不能为零，分母为零时等式不成立。
  2. §1.3 例题 E031：利用 abc=1 统一分母时没排除零分母，a,b,c 可能为零导致分母为 0。
  3. §1.3 例题 E032：在 a+b+c=0 条件下通分，没排除零分母，分母含零变形无效。
  4. §1.3 例题 E041：逐项作差等式没排除 a=0 等零分母，分母为零恒等式无意义。
  5. §1.3 例题 E044：分母化为 -2bc 等之后求和为 0，缺少零分母排除的条件。
  6. §1.3 例题 E045：比例式已经隐含 x,y,z 非零，但没明确写出来，不够清楚。
  7. §1.3 例题 E046：通分后分子逐项抵消，没排除零分母，分母为零时不成立。
  8. §1.5 例题 E064：倒数换元要求 x 非零且 |t|≥2，题面没声明"在实数范围内"。
  9. §1.5 例题 E067：部分分式分解没排除使原分母为零的 n 值，n=0,-1,-2 时分母为 0。
  10. §1.5 例题 E076：分母要求 ab≠0 但没说明，分母为零时等式无意义。
  11. §1.1 引理 T001：齐次性等价刻画缺少"非零多项式"的前提，否则恒为零时定义失效。★
  12. §1.2 性质 T004：立方和与立方差公式没写适用范围，应写明"对任意数 a,b"。
  13. §1.2 性质 T005：完全立方公式没写适用范围，同 T004。
  14. §1.2 定理 T007：奇数次幂和公式没限定 n 为正奇数，n 不限制时不一定成立。
  15. §1.6 定理 T018：线性不定方程通解缺 a,b 非零前提，a,b 为零时通解公式失效。
  16. §2.1 定理 T021：德摩根定律没明确 A,B 是 U 的子集，还缺第二式的证明。
  17. §3.3 定理 T026：导数与单调性定理缺少连续/内点可导的前提。
  18. §3.4 定理 T029：对称性判据缺定义域封闭和恒成立的条件，适用范围不清。
  19. §3.5 定理 T033：函数方程迭代第三式缺少分母非零的前提。
  20. §3.6 定理 T035：二阶导数判定法缺连续/内部二阶可导前提和中值定理证明。
  21. §3.7 定理 T038：反函数存在充要条件缺值域前提和双向证明。
  22. §3.9 定理 T044：复合函数奇偶性缺少外层函数在对应区域上奇偶性的条件。
  23. §3.10 定理 T046：对称变换缺 y=x 对称时反函数存在的说明，无反函数不能写 f⁻¹(x)。
  24. §3.11 定理 T049：三次函数中心对称缺 a≠0 条件，证明被跳过。
  25. §3.11 定理 T050：三次方程根与系数关系缺 a≠0 和按重数计根的前提。
  26. §4.2 定理 T059：四类柯西方程的定义域/连续性假设不够严格，需收紧并补零函数分支。
  27. §4.2 定理 T060：平移变式缺 f:ℝ→ℝ 连续的前提。
  28. §4.2 定理 T061：带尺度因子的乘法型方程缺正定义域、非平凡解等条件。
  29. §4.4 定理 T064：正切函数模型缺分母非零及正切极点的限制。★
  30. §5.1 定理 T068：均值不等式链 H≤G 和 A≤Q 没写等号成立的条件。
  31. §5.3 定理 T069：三段不等式的等号条件来源不明，没给推导。
  32. §6.10 定理 T084：正切三倍角公式缺少 tanα、tan3α 有意义及分母非零的条件。★
  33. §7.10 定理 T098：连乘相消缺数列各项非零条件，分母可能为零。
  34. §7.10 定理 T099：二阶递推缺 q≠0 条件和通项唯一性证明。
  35. §7.16 定理 T109：莱布尼茨判别法缺少 a_n>0 的前提。
  36. §9.1 定理 T112：乘法原理缺"后续每步选择数对任意前缀固定"的条件。
  37. §9.3 定理 T115：二项式定理缺变量可交换的条件。
  38. §9.4 定理 T117/T118：多项式定理缺可交换变量/数的前提。
  39. §11.1 定理 T129：正弦定理缺非退化三角形前提和正弦非零说明。
  40. §11.1 定理 T130：余弦定理缺非退化三角形前提。
  41. §12.3 定理 T164：点到直线距离公式缺 A,B 不同时为 0 的条件。
  42. §12.5 定理 T167：焦点-中心弦三角形面积范围没排除长轴退化。
  43. §12.5 定理 T172：韦达定理缺 a≠0 条件和证明。
  44. §12.5 定理 T173：弦长公式缺 a≠0, Δ>0 条件和证明。
  45. §12.5 定理 T174：弦中点斜率关系没处理竖直弦和 x_M=0 时分母为零的情况。
  46. §13.2 定理 T181：交比射影不变性证明缺四线互异、截线非退化等条件。
  47. §13.2 定理 T182：调和点列倒数关系缺有向线段非零条件。
  48. §14.7 定理 T194：罗尔定理缺少 a
  49. §14.7 定理 T195：拉格朗日中值定理缺少 a
  50. §14.7 定理 T196：函数单调性判定缺区间连续/内部可导前提。
  51. §14.8 定理 T198：柯西中值定理缺 a★
  52. §16.4 定理 T212：乘除法三角表示缺 z₁, z₂ 非零条件。
  53. §17.1 公理 T219：两平面相交公理应限定为不同平面，重合时无交线。★
  54. §17.3 定理 T223：线面平行性质定理缺少"经过该直线且与此平面相交"的前提。
  55. §17.3 定理 T226：平行平面传递性没排除重合平面。
  56. §19.3 定理 T234：第一类换元法则缺复合定义域前提 g(I)⊂J。
  57. §19.5 定理 T237：连续函数可积性定理缺 a
  58. §19.6 定理 T240/T241：定积分线性性与积分中值定理缺 a★
  59. §20.3 定理 T243：一阶线性微分方程求解缺 P, Q 连续的前提。
  60. §21.2 定理 T245-T247：矩阵运算律缺同阶矩阵/维数相容的前提。
  61. §21.2 定理 T249：二次曲线分类准则缺 A, B, C 不全为零及退化情形说明。
  62. §21.2 定理 T251：克拉默法则缺维数前提。
第三档证明不完整86 项
  1. §1.3 例题 E040：Lagrange 恒等式只证明了 n=3 的情形，没给出一般形式。
  2. §1.6 例题 E080：证明用了"因子传递"的不严谨说法，应直接写成 2×整数，并覆盖 n=0 和负整数。
  3. §1.2 定理 T008：一元二次分解公式没说明 Δ<0 时不能实分解，结论不完整。
  4. §1.2 定理 T009：齐次二次分解没处理 y=0 边界和 Δ<0 情形，边界不完整。
  5. §1.2 定理 T012：有理根定理缺少 p=0 的分支，a₀=0 时需要单独处理。
  6. §1.3 定理 T013：说"n 次多项式"不够严谨，应为"次数不超过 n"。
  7. §1.6 定理 T014：整除基本性质证明跳过了自反性和传递性，不该直接略证。
  8. §1.6 定理 T016：gcd·lcm=ab 缺完整证明，完善。
  9. §1.6 定理 T017：裴蜀定理充分性缺乏构造依据，扩展欧几里得的回代步骤要说明。
  10. §1.6 定理 T019：本原毕达哥拉斯三元组参数化只给了形式，没验证充分性。
  11. §2.1 命题 T020：集合相等判定缺双向证明，证明不完整。
  12. §2.3 定理 T024：逆否等价用 Venn 图直观证明不够，应改为真值表证明。
  13. §2.3 定理 T025：量词否定律只有直观理解，缺严格证明。
  14. §3.4 推论 T030：常见对称形式推论直接给结论，没证明。
  15. §3.5 定理 T032：对称性推出周期性漏掉了轴心重合时的边界情形。
  16. §3.6 定理 T034：凹凸性等价结论只说"从略"，缺反向证明。
  17. §3.6 推论 T037：Jensen 算术平均形式的证明循环引用了加权形式，应该直接由加权推。
  18. §3.7 定理 T039：反函数性质四条只证了一条，缺后三条证明。
  19. §3.9 定理 T042：复合函数定义域公式只给了公式，没证明内层值域落入外层定义域。
  20. §3.10 定理 T045：平移伸缩变换原先没证明，需要补坐标变换证明。
  21. §3.10 定理 T047：翻折变换没给分段/点集证明。
  22. §3.11 定理 T051：切线条数判定原无证明。
  23. §3.11 定理 T052：原函数与导函数对称性互换只证了一条，另一条没证。
  24. §3.12 定理 T054：自然指数函数性质缺存在/唯一性证明和可导范围。
  25. §3.14 定理 T055：对数运算法则只详细证了乘法，缺商和幂的证明。
  26. §3.16 定理 T057：零点存在性定理缺介值定理证明。
  27. §3.18 定理 T058：绝对值性质只证了三角不等式，缺其余性质证明。
  28. §4.3 定理 T062：原证明只验证二次多项式是候选，没证唯一性。
  29. §4.4 定理 T063：达朗贝尔方程缺零函数平凡解和反向验证。
  30. §5.5 定理 T071：Engel 形式缺等号条件反向证明。
  31. §5.5 定理 T072：闵可夫斯基不等式没说明等号何时成立。
  32. §5.6 定理 T073：逆序和最小的证明缺对称论证，没完成下界证明。
  33. §5.7 定理 T074：伯努利不等式整数形式没证等号条件。
  34. §5.7 定理 T075：实数形式 α<0 的证明用"类似"跳过了关键步骤。
  35. §6.9 定理 T081：和差角公式大全没给证明环境，需补证明和正切分母条件。
  36. §6.11 定理 T085：万能公式的证明缺少 tanα 公式的推导。
  37. §6.13 定理 T086/T087：积化和差与和差化积公式缺推导证明。
  38. §6.16 定理 T089：反正切加法公式在 ab<1 时缺余弦符号的主值区间论证。
  39. §7.10 定理 T097：累加法裂项相消没证明。
  40. §7.11 定理 T100：压缩映射原理缺 Banach 完整证明。
  41. §7.15 定理 T102：极限运算法则证明缺少显式 proof 环境。
  42. §7.15 定理 T106：e 的极限原无收敛性证明。
  43. §7.16 定理 T108：项趋零性证明缺少 S_{n-1} 与 S_n 同极限的平移说明。
  44. §7.17 定理 T110：泰勒中值定理缺证明，假设也不够精确。
  45. §10.1 定理 T119：德·摩根定律原无证明。
  46. §10.1 定理 T125：错排数通项公式只依赖前例，缺容斥原理证明。
  47. §10.1 定理 T126：错排数递推关系缺按元素 n 分类的证明。
  48. §10.1 定理 T127：极限概率公式直接给结论，缺 e^{-1} 泰勒级数证明。
  49. §10.1 定理 T128：最佳整数近似没证 |n!/e - D_n| < 1/2 的余项界。
  50. §11.1 定理 T131：外心位置特征原为略证，证明不完整。
  51. §11.1 定理 T139：重心基本性质原为略证。
  52. §11.1 定理 T142：边与中线平方和关系没有证明。
  53. §11.1 定理 T143：垂心位置特征没有证明。
  54. §11.1 定理 T144：垂足圆性质没证明，垂足来源也不明确。
  55. §11.1 定理 T145：垂心与外心向量关系没有证明。
  56. §11.1 定理 T150：高线长公式没有证明。
  57. §12.1 定理 T154：平行四边形法则缺证明环境。
  58. §12.1 定理 T156：极化恒等式推导正确，但缺显式证明环境。
  59. §12.2 定理 T157：三点共线定理唯一性需排除 A=B 的退化情形。
  60. §12.4 引理 T166：皮克定理证明从矩形到直角三角形过渡有跳跃。
  61. §12.5 定理 T168/T169：椭圆反射性质和焦半径公式缺证明环境。
  62. §12.5 定理 T170：椭圆导演圆只证了必要性，缺充分性及竖直切线特殊点。
  63. §12.5 定理 T171：统一焦点-准线定义缺显式证明。
  64. §13.3 定理 T184：极线方程原无显式证明。
  65. §13.4 定理 T185：La Hire 定理原无显式证明。
  66. §14.2 定理 T188：左右极限判定原无 ε-δ 证明。
  67. §14.5 定理 T190：极限运算只证了和法则，略去了乘积、常数倍、倒数、商法则。
  68. §14.8 定理 T197：线性近似误差公式缺 x=x₀ 平凡情形的说明。
  69. §14.10 定理 T201/T202：凹凸性判定与极值第二充分条件缺证明。
  70. §14.12 定理 T204/T205：端点分析法与局部保号性缺双向完整证明。
  71. §15.4 定理 T208：圆锥曲线统一极坐标方程缺焦点-准线推导与 ρ≥0 分母条件。
  72. §16.1 性质 T209：复数相等判定缺代数形式唯一性证明。
  73. §16.1 性质 T210：模与共轭乘法性质证明循环依赖后续性质。
  74. §16.3 定理 T211：共轭虚根公式缺定理标题与配方法证明。
  75. §16.4 定理 T213：棣莫弗公式只证了正整数指数，缺负整数指数。
  76. §16.5 推论 T215：复系数多项式按重数分解缺归纳法证明。
  77. §17.1 定理 T220/T221：确定平面的定理缺标题和统一性证明。
  78. §17.4 定理 T227-T230：线面垂直、三垂线等证明有跳步，应改写严格证明。
  79. §19.1 定理 T232：连续函数原函数存在定理缺构造性证明。
  80. §19.4 定理 T235：分部积分法仅有公式，缺乘积求导法则证明。
  81. §19.4 定理 T236：分部求和法缺证明且标题格式不完整。
  82. §20.2 定理 T242：指数增长模型证明除以 y 漏掉零解。
  83. §20.4 定理 T244：微分方程法流程缺"微分仅给候选、最终需检验"的警示。
  84. §21.2 定理 T248：面积变换定理缺 det(A)=0 情形与完整证明。
  85. §21.2 定理 T250：逆矩阵公式缺充要性证明。
  86. §21.2 定理 T252：秩定理缺行秩等于列秩的完整证明。
第四档表述与格式问题7 项
  1. §2.1 例题 E096：数轴图中 B 左侧区间起点画错了，和图文矛盾。
  2. §2.1 例题 E098：同样问题，数轴图里 B 左侧区间起点不对。
  3. §2.1 定理 T023：容斥原理最后一行求和简写与定理正文不一致。
  4. §7.1 公理 T090：数学归纳法起始值没明确是正整数。
  5. §14.6 定理 T191：无穷极限定义中"|x|无限增大"与 x>M 表述不一致。
  6. §14.7 定理 T193：费马引理证明中极大值定义的表述有歧义。
  7. §19.2 定理 T233：不定积分线性性质没明确"积分常数重新合并"的理解。

设计哲学

理念与特征

从学生视角出发，用清楚的语言和严谨的推导，把函数、极限与导数中的核心思想一层层展开。版式、图示与节奏都围绕“让读者真正读懂”而设计。

21章

《高中数学之旅》覆盖的中学数学核心专题

43讲

《函数与导数》第一册的专题与例题编排

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排版即艺术

精心调配的数学公式、图形版式与阅读节奏，让推理过程清晰可见。

免费完整内容

免费版即可获取全部章节与图示，知识不应被门槛挡住。

精绘几何图式

函数图像与几何图形按数学关系精确绘制，帮助建立直观认知。

严格校对打磨

多轮审阅与完整勘误表，持续修正每一处细节，让阅读更放心。

专题分册编排

按数学专题独立分册，便于围绕不同主题独立阅读与查阅。

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《函数与导数》

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《高中数学之旅》

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缘起、学习与近况

写作缘起、学习方式与近况说明

这里保留原本书籍说明页中的背景文字，解释为什么写这本书，以及项目当前的状态。

写作缘起与方法论

本书的起点源自我在高中三年学习数学期间积累的笔记与思考。写这本书的初衷很简单：我觉得市面上没有一本教辅可以真正满足我。

我观察到目前大部分教辅的形式，要不就是总结加一堆例题，有些比较良心的教辅，无非是在解析和答案上多下点功夫。直到我读了 Springer 出版社的《初等数学之旅》之后，我突然有感而发：为什么国内就没有一本这种能从初中一直讲到本科数学的大部头书呢？于是我写了这本书。

我更想强调的是：拥有另一种模式的学生，看到一道题，不是先去“匹配”是什么题型，而是看到整道题背后的逻辑流：从哪个定义或定理出发，经历哪些分支，最后如何收敛到答案。

关于习题册、AI 与学习方式

许多人问我为什么不继续编一个习题册：一是没时间且回报太少；二是我确实懒；三是市面上的习题与专题资源已经很多。

以前我也觉得解析册里的思路引导很重要，但现在我渐渐改变了想法。很多 AI 配合学习模式的一步步交互性引导，在效率上明显超过纸面答案。

我在高三后期就经常把错题思路交给模型继续推演，让它顺着我的错误路径解释“为什么错、为什么这个方法好而那个不好”。把真实思考过程交给可交互系统，效率更高。

关于项目近况

这个项目曾进入长期暂停，但经过最近几个月的修订，于 6 月 12 日发布了重要更新版本，并附有完整勘误表。此前的暂停原因包括：新增内容没有形成可持续回报；书稿被改名、拆分、低价倒卖持续消耗精力；大部头写作需要连续的大块时间且过于单向；以及有新的软件开发项目要做。

接下来：把内容逐步迁移到软件中；继续开发软件；继续观察有没有新的写作切入点；先实现可持续收益，再谈更长期目标。

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